Gerak Partikel

Gerak Lurus

Lintasan gerak berupa garis lurus (satu dimensi)

Laju Konstan

Perpindahan benda/partikel tanpa disertai percepatan. Pada gerak lurus konstan, berlaku :

$$a=0\\ v=konstan$$

Rumus

1. Kecepatan
   $\boxed{v=\frac{dx}{dt}}$

2. Jarak
   $\boxed{\Delta x=v \Delta t}$

Percepatan Konstan (GLBB)

Pada percepatan konstan, maka berlaku :

$$a=\frac{dv}{dt}$$

Rumus

1. Dengan integral, maka kecepatannya :

   $$\begin{gathered} dv=a.dt\\ \int_{a}^{b} dv = \int_{a}^{b} a.dt\\ \int_{a}^{b}dv = a \int_{a}^{b} dt \\ \end{gathered} \\ (v_b-v_a=a(t_b-t_a)) \rightarrow t_a = 0\\ v_b-v_a=at\\ \boxed{v_b=v_a+at}$$

2. Posisi Benda

   $$v=\frac{dx}{dt} \rightarrow dx=v.dt \\ \begin{aligned} \int_{a}^{b} dx &= \int_{a}^{b} v.dt \\ \int_{a}^{b} dx &= \int_{a}^{b} (v_a+at)(dt) \\ (x_b-x_a)&=v_at+\frac{1}{2}at^2 \end{aligned} \\ \boxed{x_b=x_a+v_at+\frac{1}{2}at^2}$$

dengan $x_a=0$, maka

$$\boxed{x=vt+\frac{1}{2}at^2}$$

3. Posisi Benda tanpa Waktu
   $$v_b=v_a+at \rightarrow t = \frac{v_b-v_a}{a}\\ \text{masukkan persamaan t ke : } \\ x_b=x_a+v_at+\frac{1}{2}at^2\\ \text{maka didapat :}\\ \,\\ v_b^2=v_a^2+2a(x_b-x_a)\\$$

   sederhanakan, maka :

   $$\boxed{v_b^2=v_a^2+2as}$$

Bagaimana Cara Mengintegralkan?

Rumus Integral

$$\int kx^n \ dx = \frac{k}{n+1}x^{n+1}+C$$

Keterangan:

• k : koefisien
• x : variabel
• n : pangkat/derajat dari variabel
• C : konstanta

Gerak Parabola

Gerak parabola adalah gerak benda pada 2 dimensi, Gerak benda perlu ditinjau pada sumbu-$x$ dan sumbu-$y$ secara terpisah.

Pada gerak parabola, karena vektor $v$ dipisah terhadap sumbu $x$ menjadi $v_x$ dan terhadap sumbu $y$ menjadi $v_y$, maka berlaku :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{V} &= V_x\hat{i}+v_y\hat{j} \,\\ |V| &= \sqrt{(V_x)^2+(V_y)^2} \,\\ \theta &=\arctan \frac{V_y}{V_x} \end{aligned}$$

Sumbu $x$

Pada Komponen vektor kecepatan suatu benda dengan kecepatan awal $v$, dan membentuk sudut $\theta$ pada sumbu $x$, maka didapat :

1. Kecepatan pada sumbu $x$

   Kecepatan Awal

   $$v_{ox}=v_o\cos \theta\\ a_x=0$$

Kecepatan setiap waktu

$$\boxed{v_x=v_{ox}-c}\\ \text{dengan c = konstan}$$

2. Posisi pada sumbu $x$
   $$x = x_o+v_{ox}t\\ \boxed{x=x_o+(v\cos\theta)t}$$

Sumbu $y$

Pada Komponen vektor kecepatan suatu benda dengan kecepatan awal $v$, dan membentuk sudut $\theta$ pada sumbu $x$, maka didapat :

1. Kecepatan pada sumbu $y$

   Kecepatan Awal

   $$v_{oy}=v_o\sin \theta\\ a_y=g=10 \ m/s^2$$

Kecepatan setiap waktu

$$\boxed{v_y=v_{oy}-gt}\\$$

1. Posisi pada sumbu $y$
   $$y = y_o+v_{oy}t+\frac{1}{2}at^2\\ \boxed{y=y_o+(v\sin\theta)t\pm\frac{1}{2}gt^2}$$

Posisi Sumbu y, Mengapa $\pm\frac{1}{2}gt$?

Pada persamaan posisi $y$, $g$ dapat bernilai positif (ketika benda jatuh) maupun negatif (ketika benda naik)

Gerak Melingkar

Pada gerak melingkar,ada perbedaan besaran yang digunakan dari gerak lurus, besaran yang ada pada gerak melingkar adalah sebagai berikut

Besaran	Melingkar	Linear
Jarak	$\theta$	$s$
Kecepatan	$\omega$	$v$
Percepatan	$\alpha$	$a$

Nama simbol
$\omega$ : Omega
$\theta$ : Theta
$\alpha$ : Alpha

Gerak melingakr dibagi menjadi 2 yaitu

1. Gerak Melingkar dengan Kecepatan Konstan
2. Gerak Melingkar dengan kecepatan tidak konstan

Rumus Gerak Melingkar

1. Jarak yang ditempuh

   Pada gerak melingkar, jarak tempuh partikel ada 2 , yaitu jarak sudut, dan jarak linear
   Hubungan Jarak linear dengan jarak melingkar adalah

$$\boxed{ds=R \ d\theta}$$

dengan, $ds$ : Perpindahan jarak
$R$ : Jari - Jari Lingkaran
$d\theta$ : Perpindahan Sudut

2. Kecepatan

   Kecepatan pada gerak melingkar memiliki 2 kecepatan, yaitu kecepatan tangensial (kecepatan yang tangensial dengan arah perputarannya). dan Kecepatan sudut.
   Hubungan antara kecepatan tangensial dengan sudut adalah

Kecepatan tangensial dapat dicari dengan menurunkan jarak terhadap waktu maka,

$$\begin{aligned} v&=\frac{ds}{dt}\\ v&=\frac{R \ d\theta}{dt}\tag{1} \end{aligned}$$

Pada kecepatan sudut, dapat dicari nilainya menggunakan turunan sudut dengan waktu

$$\omega=\frac{d\theta}{dt}\tag{2}$$

Dengan Mensubtitusi persamaan $(2)$ ke persamaan $(1)$, maka didapat

$$\boxed{v=R \ \omega}$$

dengan,
$v$ : Kecepatan tangensial
$\omega$ : Kecepatan sudut

3. Percepatan Sudut

   Percepatan sudut dapat dicari dengan menurunkan kecepatan sudut dan waktu

$$\alpha=\frac{d\omega}{dt}\\ \boxed{\alpha=\frac{d^2\theta}{dt^2}}$$

Perbedaan kecepatan tangensial dengan sudut

Perbedaan kecepatan tangensial dan kecepatan sudut adalah, kecepatan tangensial akan berbeda beda pada jarak jari-jari yang berbeda, sedangakan kecepatan sudut akan selalu sama.

Gerak Melingkar dengan Kecepatan Konstan

Pada gerak melingkar dengan kecepatan konstan, besaran percepatan yang dimiliki partikel hanya percepatan sentripetal

dengan percepatan sentripetalnya adalah

$$\boxed{a_c=\frac{v^2}{R}}$$

Pada gerak melingkar denagn kecepatan konstan, partikel tidak memiliki percepatan tangsensial, maka

$$\boxed{a_t=0}$$

Gerak Melingkar dengan Kecepatan Tidak Konstan

Pada gerak melingkar dengan kecepatan tidak konstan, besaran percepatan yang dimiliki partikel adalah percepatan sentripetal dan percepatan tangensial

dengan percepatan sentripetalnya adalah

$$\boxed{a_c=\frac{v^2}{R}}$$

Pada gerak melingkar denagn kecepatan tidak konstan, partikel memiliki percepatan tangsensial dengan nilainya adalah

$$a_t=\frac{dv}{vt}\\ \boxed{a_t=R \ \alpha}$$

Dengan total vektor percepatannya adalah

$$\boxed{a=\sqrt{a_t^2+a_c^2}}$$

Percepatan tangensial dan sentripetal

• Percepatan Tangensial adalah percepatan yang memiliki arah tangensial terhadap arah dan lintasan melingkar
• Percepaatn Sentripetal adalah percepatan terhadap pusat lingkaran (Arah vektornya mengarah ke pusat lingkaran)

Pada percepaatan tangensial hanya mengubah besarnya kecepatan partikel, sedangkan pada percepatan sentripetal dapat mengubah arah kecepatan