↗️ Vektor

📄 PDF

Materi Vektor

ℹ️ Pengertian

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.

Lawan dari vektor adalah skalar, hanya memiliki nilai.

Kesepakatan

R dianggap vektor , R dianggap nilai vektor

⏹️ Vektor Satuan

Untuk Vektor satuan R

$\boxed{\text{\^{R}}=\frac{\overrightarrow{R}}{R}}$

$\boxed{\cos^2\theta+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1}$

⬆️ Representasi Vektor

Misal ada vekto A dengan panjang $a$, Secara analitis cukup dinyatakan dalam bentuk

$$\boxed{\overrightarrow{A}=a_x\text{\^{i}}+a_y\text{\text{\^{j}}}}$$

Jika $\overrightarrow{A}$ membentuk sudut $\theta$ dengan sumbu x, maka dipenuhi :

$$a_x = a \cos\theta\\ a_y = a \sin\theta$$

Panjang $\overrightarrow{A}$ = $|\overrightarrow{A}|$ = $\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

Besar sudut $\theta$ dihitung dengan $\tan\theta$ = $\frac{a_x}{a_y} \rightarrow \tan^{-1} \frac{a_y}{a_x}$ dan $\cos\theta = \frac{a_y}{a}$

➕ Operasi Vektor

Operasi Skalar	Operasi Vektor
Penjumlahan	Penjumlahan
Pengurangan	Pengurangan
Perkalian	Perkalian dengan Vektor
	Perkalian Titik
	Perkalian Silang
Pembagian
Pemangkatan
Peng-akar-an

➕ Penjumlahan Vektor

1. Cara Geometri

   • Vektor $\overrightarrow{A}$ dan vektor $\overrightarrow{B}$ diletakkan pada titik yang sama
   • vektor A dan Vektor B digambar lagi sehingga terbentuk ($\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$) dengan panjang $R$
   • Bentuk A + B agar menjadi segitiga siku siku sehingga perhitnugan $R$ dapat dilakkan dengan teoream Phytagoras
     $$\sqrt{(b+a\cos\theta)^{2} }$$

2. Cara Analitis

   • Untuk $\overrightarrow{A} = a_x\text{\^{i}}+a_y\text{\text{\^{j}}}$ dan $\overrightarrow{B}=b_x\text{\^{i}}+b_y\text{\text{\^{j}}}$

   • Komponen vektor yang searah dijumlahkan $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}= (a_x+b_x)\text{\^{i}}+(a_y+b_y)\text{\text{\^{j}}}$

   • untuk $|\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}|=R=\sqrt{(a_x+b_x)^{2}+(a_y+b_y)^2}$

   • Sedangkan sudut vektor A + B terhadap horizontal adalah

     $$\tan\varphi=\frac{a_y+b_y}{a_x+b_x}$$

   • Kesimpulan

$$R = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta}$$

$a$ adalah panjang vektor $\overrightarrow{A}$
$b$ ada;ah panjang vektor $\overrightarrow{B}$

🧐 Sifat Penjumlahan Vektor

1. Komutatif ($A + B=B + A = C$)
2. Asosiatif ($(A+B)+C = A +(B+C)$)

➖ Pengurangan Vektor

adalah penjumlahan vektor terhadap vektor negatif lainnya, Vektor negatif adalah vektor yang nilainya sama namun arahnya berbalik

🔵 Cara Geometri

$R=\sqrt{x^2+a\sin^{2}\theta}$

Kesimpulan

$$S = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\theta}$$

$a$ adalah panjang vektor $\overrightarrow{A}$
$b$ ada;ah panjang vektor $\overrightarrow{B}$

❌ Perkalian Vektor

Hasil kali vektor $a$ dengan sklar $m$ adalah sebuah vektor $ma$ yang besarnya $|m|$ kali besar vektor $a$ dan arahnya

• searah dengan $a$ jika $m>0$
• berlawan dengan $a$ jika $m<0$

jika $a$ dan $b$ vektor, $m$ dan $n$ skalar, maka berlaku

1. $ma=am$
2. $m(na)=(mn)a$
3. $(m+n)a=ma+na$
4. $m(a+b)=ma+mb$

🔴 Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik diberi dengan simbol dot ($\centerdot$), contoh $\overrightarrow{A}\centerdot\overrightarrow{B}$

• Diperoleh dengan memproyeksikan salah satu vektor ke arah vektor lain

$$\boxed{\overrightarrow{A} \centerdot \overrightarrow{B} = ab\cos\theta}$$

🧐 Cara Analitik

$$\overrightarrow{A} \centerdot \overrightarrow{B} = a_x b_x+a_y b_y$$

Ingat

Hasil Perkalian titik dua vektor adalah skalar

Sifat Perkalian titik

1. Jika Vektor A dan B, atau salah satunya bernilai 0, maka vektor tersebut tegak lurus
2. Jika nilai dot product Vektor A dan B adalah A B, maka vektor tersebut sejajar
3. Perkalian titik sebuah vektor dengan dirinya sendiri sama dengan kuadrat besar vektor tersebut
4. Perkalian titik bersifat komutatif
5. Perkalian titik memenuhi aturan perkalian distributif
6. Perkalian titik dapat ditulis dalam bentuk komponen kedua vektor itt
7. Perkalian titik antara vektor vektor satuan i,j,k, pada perkalian titik sama , bernilai satu, jika beda maka 0

❌ Perkalian Silang (cross product)

Dilambangkan dengan ($\times$), Hasil perkalian silang antara dua vektor selalu mempunyai arah tegak lurus dengan vektor pengalinya (searah $\text{\^{n}}$ atau $-\hat{n}$), sesuai dengan arah putaran sekrup, akan mengahasilkan besaran vektor :

$$\boxed{\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{A}=ab\sin\theta (\text{\^{n}})}\\ \boxed{\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=ab\sin\theta(-\text{\^{n}})}$$

🧐 Cara Analitis

$$\overrightarrow{C}=\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=(a_yb_z-a_zb_y)\text{\^{i}}-(a_xb_y-a_zb_x)\text{\^{j}}+(a_xb_y-a_yb_x)\text{\^{k}}$$

$$A\centerdot B=x_1x_2+y_1y_2\\ A\times B=(x_1y_2-y_1x_2)\text{\^{k}}$$

Ingat

Hasil perkalian silang dua vektor adalah vektor

Sifat perkalian Silang

1. jika $\theta$ adalah sudut apit antara dua vetor dan \^n adalah vektor satuan yang tegak lurus kedua vektor.

2. Perkalian silang natara A dan B dapat dihitung dengan determinan (aturan Sarrus)

3. Jika Vektor A dan B sejajar, maka nilai perkalian silangnya adalah 0

4. Dari definisi, maka berlaku

   $$\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{A}=0\\ \overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}=-\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{A}$$

5. Distributif

6. Persilangan silang antara vektor satuan i,j,k. (lihat lingkaran hubungan ijk)

Mencari Cos $\theta$

Menurut rumus perkalian titik,

$$\boxed{\cos\theta = \frac{\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|}}$$