Skip to main content

Bilangan Kompleks

Definisi#

Bilangan kompleks (C\Complex) adalah bilangan yang dinyatakan dengan z=(a,b)z = (a,b) atau

z=a+ib,dengan a,b∈ℜ,i=−1z=a+ib, \text{dengan } a,b \in \real, i=\sqrt{-1}

dengan

ℜ : Bilangan Reali : Imajinera=ℜ(z) dari z\real \text{ : Bilangan Real} i \text{ : Imajiner} a \text{=} \real(z) \text{ dari } z

Himpunan bialngan kompleks di notasikan

C={z∣z=a+ib,a,b∈R,i=−1}\boxed{\Complex=\{z|z=a+ib,a,b\in\reals, i=\sqrt{-1}\}}

Contoh bilangan Kompeks z1=5−2i,z2=2iz_1=5-2i, z_2 =\sqrt{2i}

Penting

Semua bilangan real adalah bilangan complex, karena bilangan kompleks adalah bilangan real (R\R) dan imajiner (Z\Z)

Operasi Kompleks#

Diberikan suatu bilangan kompleks, z1=a1+ib1z_1 =a_1+ib_1 dan z2=a2+ib2z_2=a_2+ib_2, maka berlaku

z1=z2, jika a1=a2 dan b1=b2z_1=z_2, \text{ jika } a_1=a_2 \text{ dan } b_1=b_2
B.Kompleks Tidak bisa disandingkan

Dalam bilangan kompleks tidak mengenal relasi lebih kecil dan relasi lebih besar, yaitu tidak ada relasi z1<z2z_1<z_2 atau z1>z2z_1>z_2

Contoh Soal Operasi Bil. Kompleks#

Jika diberikan suatu bilangan kompleks: z1=1−i,z2=−2+4i,Z3=3−2iz_1=1-i, z_2 = -2+4i, Z_3= 3-2i, Hitunglah

  1. z1+z2z_1+z_2
  2. z1+z2−z3z_1+z_2-z_3
  3. z1.z2z_1. z_2
  4. z2/z3z_2/z_3
Dimana angka Imajiner di garis bilangan?

Bilangan Imajiner di gambarkan pada bidang kartesius sebagai sumbu vertikal (yy) dan bilangan real sebagai sumbu horizontal (xx)

Bilangan Kompleks Sekawan (zˉ\bar{z})#

Dalam Sistem bilangan kompleks tedapat satu operasi yang unik operasi sekawan atau operasi konjugat. Jika setiap bilnagan kompleks z=x+iyz=x+iy, maka bilangan kompleks sekawannya dinotasikan zˉ=x+iy‾=x−iy\bar{z}=\overline{x+iy}=x-iy.

Mengapa perlu bilangan sekawan?

Alasan dari adanya bilangan komplkes sekawan adalah meniadakan bagian imajiner

Sifat Operasi Sekawan#

Belum Dicatat

Materi ini belum dicatat

Identitas Bilangan Kompleks#

Dalam sistem bilangann kompleks, bilangan 0=0+0i0=0+0i merupakan elemen identitas terhadap operasi jumlahan dan bilangan 1=1+0i1=1+0i. merupakan elemen identitas terhadap operasi perkalian sehingga berlaku:

z+0=z+0 =

Invers Terhadap Jumlahan dan perkalian#

Terhadpa operasji jumlahan, setiap bilangan kompleks z=xiyz=x_iy mempunyai tepat satu bilangan kompleks z1z_1 sehingga dipenuhi:

  1. z1+z2=0z_1+z_2=0
  2. z1.z2=1z_1.z_2=1

Hukum dasar Operasi Bilangan Kompleks#

  1. Komutatif
    z1+z2=z2+z1dan z1.z2=z2.z1z_1+z_2=z_2+z_1\\ \text{dan } z_1.z_2=z_2.z_1
  2. Asosiatif
  3. Distributif

Nilai Mutlak atau Modulus#

Modulus bilangan kmpleks z=x+iyz=x+iy dinyatakan notasi

∣z∣=r=x2+y2|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}

Merupakan bilangan real nonnegatif, sehingga berlaku:

∣z∣≥0,∣z∣=0↔z=0∣z∣=∣−z∣=∣zˉ∣z.zˉ=∣z2∣∣z1.z2∣=∣z1∣.∣z2∣∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣;z2≠0R(z)≤∣R(z)∣≤∣z∣|z|\geq 0, |z|=0 \leftrightarrow z=0\\ |z|=|-z|=|\bar{z}|\\ z.\bar{z}=|z^2|\\ |z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|\\ |\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|};z_2\neq 0\\ \reals(z)\leq |\reals(z)|\leq|z|\\
Apa itu R(z)\reals(z)?

Notasi R(z)\reals(z) melambangkan nilai bilangan real (x) dari suatu bilangan kompleks.

Bentuk Kutub#

Hubungan antara koordinat cartesius dan koordinat pada titik yang sama P(x,y)=P(r,)P(x,y)=P(r,). Kutub memnampilkan panjang dan sudutnya Q(r,θ)Q(r,\theta), dengan θ=arctan⁡Im(z)Re(z)\theta=\arctan \frac{Im(z)}{Re(z)}

Contoh#

diberikan z=1+iz=1+i, ubah dalam koordinat kutub

Jawab

r=∣z∣=12+12=2r=|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

θ=45°\theta = 45\degree

Q(2,45°)Q(\sqrt{2},45\degree)

z=x+iy=rcos⁡θ+irsin⁡θz=x+iy=r\cos\theta + ir\sin\theta

z=2.cos⁡45°+i(2)(sin⁡45°)z=\sqrt{2}.\cos 45\degree + i(\sqrt{2})(\sin 45\degree)

z=1+iz=1+i

Teorema deMoivre#

JIka bentuk kutub suatu bilangan kompkeks, dinyatakan sebagai