Invers Matriks

Untuk Matriks $A$, Inversnya adalah Matriks $A^{-1}$

Mencari Invers matriks menggunakan OBE

$$\boxed{A|I=I|A^{-1}}$$

Penggunannya :

$$\begin{pmatrix} a & b & | & 1 & 0 \\ c & d & | &0&1 \end{pmatrix} \xrightarrow{OBE} \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & e & f \\ 0 & 1 & | &g&h \end{pmatrix}$$

Contoh

Matriks $2\times 2$

Misal Matriks A adalah $A = \begin{pmatrix} -3&6 \\ 4&5 \end{pmatrix}$

Dan Inversnya adalah $A^{-1}$, Maka dengan cara OBE , kita dapat mencari inversnya.

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -3&6&|&1&0 \\ 4&5&|&0&1 \end{pmatrix} &\xrightarrow{-\frac{1}{2}B_1} \begin{pmatrix} 1&-2&|&-1/3&0 \\ 4&5&|&0&1 \end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{B_2-4B_1} \begin{pmatrix} 1&-2&|&-1/3&0 \\ 0&13&|&4/3&1 \end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{\frac{1}{13}B_2} \begin{pmatrix} 1&-2&|&-1/3&0 \\ 0&1&|&4/39&1/13 \end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{B_1+2B_2} \begin{pmatrix} 1&0&|&-5/39&2/13 \\ 0&1&|&4/39&1/13 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Apakah Urutan OBE Penting?

Urutan dalam pengerjaan OBE tidak penting, OBE dapat dimulai dari mana saja, operasi apa saja, selama operasinya benar, maka hasil akhir nya akan sama

Maka $A^{-1}$ bernilai

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} -5/39&2/13 \\ 4/39&1/13 \end{pmatrix}$$