Minor dan Kofaktor

Materi di buku

Halaman 58

Minor

Minor adalah determinan dari Matriks $A$ dengan menghapus baris-$i$ dan kolom-$j$, Minor dinotasikan dengan ($M_{ij}$)

Contoh Penggunaan Minor

Diberikan Matriks A

$$A= \begin{pmatrix} 4&0&0\\1&5&0\\7&6&3 \end{pmatrix}$$

Maka Minor pada baris-1 dan kolom-1 nya adalah

$$M_{11}=\text{Menghapus Baris-1 dan kolom-1}\\ \begin{aligned} M_{11}&=det \begin{pmatrix} 5&0\\6&3 \end{pmatrix}\\ &=15 - 0\\ &=15 \end{aligned}$$

Maka Minor pada baris-1 dan kolom-2 nya adalah

$$M_{12}=\text{Menghapus Baris-1 dan kolom-2}\\ \begin{aligned} M_{12}&=det \begin{pmatrix} 1&0\\7&3 \end{pmatrix}\\ &=3 - 0\\ &=3 \end{aligned}$$

Dengan langkah yang sama, berlaku ke semua minor baris-$i$ dan kolom-$j$ matriks

Kofaktor

Kofaktor adalah hasil perkalian minor dengan suatu angka yang besarnya menuruti suatu aturan yaitu $(-1)^{i+j}$

dengan rumusnya

$$C_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$

Contoh Penggunaan Kofaktor

Kofaktor pada baris-1 dan kolom-1

$$\begin{aligned} C_{11}&=(-1)^{1+1} \cdot M_{11}\\ &=(-1)^{2} \cdot 15\\ &=1 \cdot 15\\ &=15 \end{aligned}$$

Kofaktor pada baris-1 dan kolom-2

$$\begin{aligned} C_{12}&=(-1)^{1+2} \cdot M_{12}\\ &=(-1)^{3} \cdot 3\\ &=(-1) \cdot 3\\ &=-3 \end{aligned}$$

Dengan langkah yang sama, berlaku ke semua kofaktor baris-$i$ dan kolom-$j$ matriks

Matriks Kofaktor

Matriks kofaktor didefinisikan sebagai

$$A = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{ij} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{ij} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{ij} \end{pmatrix}$$

Matriks Adjoint

Matriks Adjoint didefinsikan sebagai Hasil Transpose dari Matriks Kofaktor A

$$Adj \ A = A^T_{cofactor}$$

Contoh

Dari matriks $A$ diatas, diperoleh Matriks kofaktor $A$ adalah

$$cofactor \ A = \begin{pmatrix} 15 & -3 & -29 \\ 0 & -12 & -24 \\ 0 & 0 & 20 \end{pmatrix}$$

Maka Matriks adjoint nya adalah

$$\begin{aligned} Adj \ A &= A^T_{cofactor}\\ &= \begin{pmatrix} 15 & 0 & 0 \\ -3 & 12 & 0 \\ -29 & -24 & 20 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Apa Itu Transpose Matriks?

Transpose matriks adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran antara elemen baris dan kolomnya. Jadi, elemen-elemen pada baris akan kita tukar menjadi elemen-elemen pada kolom, atau sebaliknya. Transpose Matriks dinotasikan dengan ($A^T$)

Contoh :

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

Transpose nya adalah :

$$A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}$$

Tips Transpose

Hasil Transpose matriks diagonal utamanya tidak mungkin berubah dari Matriks awalnya

Determinan dengan Cofactor

Determinan matriks $A$ dapat dihitung dengan menggunakan perluasan cofactor baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$

Perluasan Baris

Jika menggunakan perluasan baris ke-$i$, maka

$$det(A)=\sum_{j=1}^n \Large a_{ij}c_{ij}$$

Perluasan Kolom

Jika menggunakan perluasan kolom ke-$j$, maka

$$det(A)=\sum_{i=1}^n \large a_{ij}c_{ij}$$

Contoh

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 7 & 6 & 3 \end{pmatrix}$$

Mencari Determinan Matriks $A$ dengan menggunakan perluasan cofactor baris ke-$1$

Mengapa Menggunakan baris ke-$1$?

Karena pada baris ke-$1$ matriks tersebut terdapat banyak nol. Sehingga dapat memudahkan perhitungan.

Tips memilih perluasan

Pilihlah Baris atau kolom yang memiliki banyak elemen nol didalamnya, sehingga dapat memudahkan perhitungan

$$\begin{aligned} det(A)&=\sum_{j=1}^3 \large a_{ij}c_{ij}\\ &=a_{11}c_{11} + a_{12}c_{12} + a_{12}c_{12}\\ &=4 \ c_{11} + 0 \ c_{12} + 0 \ c_{12}\\ &=4 \ c_{11}\\ &=4 \ (15)\\ &= 60 \end{aligned}$$

Apakah menggunakan perluasan lain hasil berbeda?

Menggunakan perluasan baris ataupun kolom lain tidak akan mengubah hasil akhir determinan, semua cara akan menghasilkan nilai yang sama

Invers Matriks dengan Adjoint

Jika $A$ memiliki invers, dengan $det(A)\not ={0}$

Maka $A$ Inversnya adalah :

$$A^{-1}=\frac{1}{det(A)} \ . \ Adj \ A$$

Contoh Matriks Invers dengan Adjoint

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 7 & 6 & 3 \end{pmatrix}$$

dan Adjointnya

$$\begin{aligned} Adj \ A &= A^T_{cofactor}\\ \\ &= \begin{pmatrix} 15 & 0 & 0 \\ -3 & 12 & 0 \\ -29 & -24 & 20 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Maka Matriks Inversnya adalah

$$\begin{aligned} A^{-1}&=\frac{1}{det(A)} \ . \ Adj \ A\\ &=\frac{1}{60} \ . \ \begin{pmatrix} 15 & 0 & 0 \\ -3 & 12 & 0 \\ -29 & -24 & 20 \end{pmatrix}\\ \\ A^{-1}&= \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ \\ -\frac{1}{20} & \frac{1}{5} & 0 \\ \\ -\frac{29}{60} & \frac{24}{60} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Cara Mencari Solusi SPL dengan Aturan Cramer

JIka $ax=b$ merupakan SPL (Sistem Persamaan Linear) dengan $n$ Variabel $(x_1,x_2,...,x_n)$, dan dengan $det(A)\not ={0}$.

Mengapa $det(A)\not ={0}$ ?

Karena pada $det(A)\not ={0}$ , suatu SPL tidak memiliki penyelesaian

Maka Penyelesaian Masalah nya adalah :

$$x_1=\frac{det(A_1)}{det(A)} \ , \ x_2=\frac{det(A_2)}{det(A)} \ , \ ... \ , \ x_n=\frac{det(A_n)}{det(A)}$$

dengan $A_j$ adalah Matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom-$j$ dari Matriks A dengan Matriks b (Matriks hasil persamaan)

Apa itu SPL?

SPL atau Sistem Persamaan Linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari beberapa variabel. Contohnya adalah :

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$$

source : Sistem persamaan linear. (2021, August 22). In Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas. https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_persamaan_linear

Contoh Penyelesaian SPL dengan Matriks

Diberikan Sistem Persamaan Linear

$$\begin{aligned} 4x_1&=1\\ x_1+5x_2&=-1\\ 7x_1+6x_2+3x_3&=2 \end{aligned}$$

Maka Matriks $A_x=b$ nya adalah

$$\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 7 & 6 & 3 \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Dengan Aturan cramer maka,
Penyelesaian $x_1$ :

$$x_1=\frac{det(A_1)}{det(A)}$$

$$\begin{aligned} x_1&=\frac{det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \\ 2 & 6 & 3 \end{pmatrix} }{ det \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 7 & 6 & 3 \end{pmatrix} }\\ &=\frac{15}{60}\\ &=\frac{1}{4} \end{aligned}$$

Penyelesaian $x_2$ :

$$x_2=\frac{det(A_2)}{det(A)}$$

$$\begin{aligned} x_2&=\frac{det \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 3 \end{pmatrix} }{ det \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 7 & 6 & 3 \end{pmatrix} }\\ &=-\frac{15}{60}\\ &=-\frac{1}{4} \end{aligned}$$

Penyelesaian $x_3$ :

$$x_3=\frac{det(A_3)}{det(A)}$$

$$\begin{aligned} x_3&=\frac{det \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \\ 7 & 6 & 2 \end{pmatrix} }{ det \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 7 & 6 & 3 \end{pmatrix} }\\ &=-\frac{35}{60}\\ &=-\frac{7}{12} \end{aligned}$$